PRÉALABLES SUR LES PRINCIPES DU TRAVAIL COMMUN
Le « système d’enseignement » que nous souhaitons produire est fondé sur une suite de situations emboîtées en continuité. Le principe de continuité est à la fois ici un principe de continuité du savoir (les situations, en se modifiant plus ou moins graduellement, appellent à de nouveaux savoirs) et un principe de continuité de l’expérience mathématique des élèves, qui doivent saisir en acte une cohérence dans l’enseignement.
Dans cette suite de situations, trois types de situations peuvent être distingués : des situations jeu des annonces et sa suite au moyen desquelles la progression s’établit : addition, soustraction, structure multiplicative; les situations Problèmes à énoncés et Estimateur.
Dans cette progression, il s’agit de penser non pas en termes d’activités ou d’éléments isolés, mais en termes de situations reliées. Par exemple, en quoi les situations de L’Estimateur ou les situations des Problèmes à énoncés vont-elles retrouver (concorder avec, précéder, succéder à) le jeu des annonces ?
Principes généraux liés au domaine “Estimation, Grandeurs et Mesures”
De nombreux résultats convergent pour affirmer que l’enfant dispose très tôt, bien avant l’entrée à l’école élémentaire, d’une représentation des quantités et des transformations numériques : il s’agit du système numérique approximatif. Cette connaissance de base permet une estimation approximative et une comparaison relative des quantités, ainsi qu’une évaluation des ajouts, retraits et de leurs effets sur la quantité discrète. Elle permet aussi d’évaluer les grandeurs continues telles que la durée, la masse, la longueur, la vitesse, etc… Ces dimensions partagent en effet une même intuition de correspondance (plus versus moins) et de grandeurs approximative (beaucoup, à peu près autant). Si l’estimation ne s’effectue pas de manière précise, elle ne s’effectue pas non plus au hasard. Elle s’améliore avec l’âge. De plus, et il s’agit là d’un point fondamental qui est au cœur des conceptions actuelles, les symboles de nombres et les signes arithmétiques tirent leur signification de la relation qu’ils entretiennent avec la représentation analogique et le système numérique approximatif. D’où l’importance et la nécessité de construire systématiquement tous les apprentissages mathématiques symboliques (depuis les premiers mots nombres jusqu’aux opérations arithmétiques et de mesure) en lien étroit avec les activités d’estimation et le système numérique approximatif. C’est précisément l’objectif du domaine ESTIMATION, GRANDEURS ET MESURES.
Principes généraux liés au domaine “Résolution de problèmes”
La résolution de problème à énoncés a pour objectif de familiariser les élèves à l’application des concepts et opérations arithmétiques à la réalité. Son objectif essentiel est la description des propriétés des situations en vue de mettre en relation les notions mathématiques et les calculs qui en découlent, avec les propriétés des objets de la situation qui permettent le dénombrement, les opérations d’addition et de soustraction.
L’analyse et la compréhension des relations entre les quantités décrites sont nécessaires pour déterminer les opérations arithmétiques licites entre les nombres. Il est important de bien faire analyser les problèmes par les élèves, car l’analyse qui est pertinente pour le choix de l’opération peut être masquée par les caractéristiques sémantiques de l’histoire. Parfois il est difficile d’imaginer mentalement ce qui se passe dans l’histoire d’une façon qui permette la solution et dans ce cas il faut décrire la situation avec des termes plus génériques que ceux de l’histoire, ce que l’on appelle un recodage de la situation. Nous allons donc faire travailler des descriptions qui font mieux apparaître la structure qui conduit à la solution.
Principes généraux liés au domaine “Situations”
Au cours préparatoire (première primaire) comme au CE1 (deuxième primaire), il s’agit de mettre en place des situations évolutives, sur la longue durée, qui doivent agir non seulement sur les capacités mathématiques des élèves (sens spatial et approximatif des nombres et du calcul pour l’estimation ; conceptualisation et recodage sémantique dans la résolution de problèmes ; acquisition de connaissances déclaratives et procédurales dans le calcul mental) mais encore sur leur rapport aux mathématiques.
Ceci suppose tout d’abord une modification de certains éléments de l’activité mathématique du professeur et des élèves (Brousseau, 1998, pp. 304-305 ; Brousseau & Warfield, 1999) : « Habituellement les enseignants présentent les savoirs qu’ils veulent enseigner comme des réponses à des questions, peut-être pour éviter le dogmatisme. Mais ils se focalisent habituellement sur l’enseignement de réponses, les questions n’étant là que pour les introduire et les justifier. De plus, ces réponses sont rarement des relations ou des assertions, qui pourraient garder un sens même en étant isolées, ce sont essentiellement des procédures dont les questions introductives sont étroitement assujetties à accompagner l’acquisition progressive. Détachés de leur contexte, les algorithmes deviennent des réponses acquises pour des questions à venir sur lesquelles on ne sait pas grand chose ». Brousseau précise ensuite que l’enseignement fondé sur de telles situations a pour but « de faire passer les questions du domaine de l’enseignant à celui de l’élève, d’enseigner les questions autant que les réponses, et autant que possible d’enseigner les connaissances avec leur sens ».
Il s’agit donc de favoriser chez les élèves un rapport de première main à une réelle expérience mathématique et, pour cela, de leur donner certains outils constitutifs de ce rapport. Une telle expérience mathématique demande une conception en acte des mathématiques comme modélisation, comme moyen d’agir efficacement dans la réalité (par exemple, je peux prendre conscience du fait que la connaissance de l’addition va me permettre de savoir très rapidement à quel nombre total correspondent les doigts que j’ai levés sur chacune de mes mains). Elle suppose en particulier le travail systématique de preuve et de justification (par exemple, je peux prouver que 3 + 4 = 7, puisque 7 – 4 = 3, ou 7 – 3 = 4). Elle nécessite un usage pertinent des systèmes de représentation, pouvant fonctionner à la fois comme moyen de résolution ou comme preuve (par exemple la ligne numérique sur laquelle je vais savoir reporter, au besoin en les estimant, une addition ou une soustraction que je sais pouvoir être solution d’un problème). Enfin, elle exige un rapport spécifique à la référence, dans la dénotation (Frege, 1994), au sens où toute écriture arithmétique doit pouvoir si besoin être référée à une situation concrète qui peut lui donner sens.
Au sein des ces séances, au Cours préparatoire, l’apprentissage est ainsi organisé autour d’une même situation de base, qui va se répéter un grand nombre de séances, tout en évoluant. Il s’agit du « jeu des annonces », qui fonde organiquement le travail des élèves sur des comparaisons d’additions. Dans cette situation, on demande aux élèves de produire une « annonce », c’est-à-dire de montrer des doigts levés sur chacune de leur main. Le nombre ainsi obtenu (par exemple 5, si un élève a levé 2 doigts sur une main et 3 sur une autre) est alors comparé au nombre figuré sur un dé lancé après coup. La comparaison s’effectue d’abord oralement, puis de manière écrite, l’usage de « parties fictives » proposées à l’étude des élèves permettant ensuite la structuration du nombre. La complexification progressive de cette situation permet d’explorer des structures additives, jusqu’à la soustraction, en faisant varier les diverses variables de la situation, puis d’aborder les structures multiplicatives, lorsque le jeu consiste à comparer une annonce composée de x facteurs égaux à un tirage de Y cartes (des cartes de 1 à 10 ayant remplacé les dés). Par exemple, l’écriture de l’annonce 6+6+6+6+6 est comparée au tirage 10 + 8 + 2 + 4 + 6, l’écriture de l’annonce étant représentée par un rectangle (pour l’ensemble de la description du « Jeu des annonces », cf. Tâche « Situations »).
Principes généraux liés au domaine “Calcul Mental”
La notion de calcul mental doit être prise dans un sens très large, non seulement parce qu’au CP de nombreuses activités de désignation (dénombrement, écriture, lecture, transcodage) des nombres, s’imposent avant ou en complément du calcul, mais aussi parce que la répétition des tables d’addition ne semble plus d’une grande efficacité au-delà d’une certaine limite (dans la séance journalière ou dans la semaine). Tout en gardant à l’esprit que la quantité de répétitions est le facteur fondamental de la mémorisation, nous proposons donc aussi des activités qui contribuent à la compréhension et à l’intérêt du calcul.
Le travail de base consiste en des séries de dix calculs, environ une dizaine de séries par mois. D’une part, par la répétition de certains faits numériques cette pratique doit contribuer à leur mémorisation déclarative (ex. : savoir que 8 c’est 4+4). D’autre part, en centrant certaines séries sur une seule procédure (ex. : calculer la somme de deux nombres consécutifs par le double du premier plus 1 : 5+6 = 5+5 + 1), cette pratique vise l’exercice et l’automatisation de la procédure.
Des activités de calcul mental variées, pratiquées sous des formes diverses (La Martinière, jeux, …) et avec un matériel varié, possiblement manipulable (jetons, balance, …), complètent le travail de base. Elles peuvent avoir, en outre, un apport conceptuel : par exemple, l’équilibrage de la balance modélisé par l’addition à trou.
L’ensemble des activités a été conçu dans une optique de recherche et, en partie de ce fait, est ambitieux. Il ne convient sûrement pas tel quel à toutes les classes et, de toute façon, doit être mis en œuvre en harmonie avec les autres activités numériques de la classe.